Fani Dizeler, bir öğretmenin sınıfta öğrencilerine ders anlatırken birden sustuğu ve gözlerinin dolduğu bir anla başlar. Bu ani duygusal kırılma, filmin ilerleyen sahnelerinde farklı mesleklerden insanların benzer sessiz isyanlarına dönüşür. Bir devlet memuru, imzaladığı evrakların arasına kendi yazdığı bir şiiri sıkıştırır. Bir postacı, teslim etmesi gereken resmi yazıları bir süreliğine cebinde saklar. Her biri, gündelik hayatın dayattığı ritüellerin arasına kendi küçük direnişlerini yerleştirir.

Film boyunca karakterler, cami avlusunda, okul koridorlarında veya devlet dairesinin soğuk masalarında karşılaşırlar. Bir öğretmen, müfredat dışı bir kitabı öğrencilerine okumayı teklif ederken tereddüt eder. Bir imam, vaazında alışılmışın dışında bir ayet yorumu yapmayı dener. Bu anlar, karakterlerin içsel hesaplaşmalarını görünür kılar. Toplumun onlara biçtiği roller ile kendi benlikleri arasında gidip gelirler.

Filmin sonunda, bu sıradan insanların her biri kendi küçük seçimleriyle yüzleşir. Öğretmen dersine devam eder, postacı mektupları teslim eder, imam vaazını tamamlar. Ancak bu eylemlerin ardında, kuralların arasına sıkışmış bir özgürlük arayışının izleri kalır. Fani Dizeler, büyük kahramanlık hikayeleri anlatmaz; bunun yerine, herkesin bildiği ama kimsenin konuşmadığı o ince çizgide dans eden insanları gösterir.